\( \sin^3(x) \cos^2(x) \)의 적분

유도 및 계산

다음 적분을 구하세요:

\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx \]

사인 인수를 하나 분리하여 적분식을 다시 씁니다:

\[ = \int \sin^2(x) \cos^2(x) \sin x \, dx \]

삼각함수 항등식 \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \)을 대입합니다:

\[ = \int (1 - \cos^2 x) \cos^2(x) \sin x \, dx \]

피적분 함수를 전개합니다:

\[ = \int (\cos^2(x) - \cos^4(x)) \sin x \, dx \]

치환적분법을 사용합니다: \( u = \cos x \)로 놓으면 \( du = -\sin x \, dx \) 또는 \( \sin x \, dx = -du \)가 됩니다. 이를 대입하면 다음과 같습니다:

\[ = - \int (u^2 - u^4) \, du \]

공통 적분 공식 \( \int u^n \, du = \dfrac{1}{n+1} u^{n+1} + c \)을 이용하여 적분을 구합니다:

\[ - \left( \dfrac{1}{3} u^3 - \dfrac{1}{5} u^5 \right) + c = - \dfrac{1}{3} u^3 + \dfrac{1}{5} u^5 + c \]

여기서 \( c \)는 적분상수입니다.

\( u = \cos x \)를 다시 대입하여 최종 정답을 구합니다: